Hvað eru náttúrlegar tölur?

Svar

Öll notum við tölur þegar við verslum, skiptum fólki í mismunandi lið, eða teljum kindur. Strangt til tekið notum við þó ekki alltaf sömu tölurnar þrátt fyrir að okkur finnist það kannski. Til dæmis notum við heilu tölurnar þegar við kaupum í matinn, ræðu tölurnar þegar við skiptum fólki í lið, og náttúrlegu tölurnar þegar kemur að kindunum. Um heilar og ræðar tölur er hægt að lesa í svari við spurningunni Hvað eru heilar og ræðar tölur?

Náttúrlegar tölur notum við til að telja og þær hafa fylgt mannfólkinu frá því að siðmenning hófst. Mengi náttúrlegu talnanna er táknað með N og hér eru nokkrar þeirra fyrstu:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Hér tákna punktarnir þrír að talnarunan heldur áfram að eilífu, en náttúrlegu tölurnar eru óendanlega margar. Þær draga nafn sitt af því að mönnum fundust þær komnar frá náttúrunni ólíkt öðrum tölum sem væru þá frekar tilbúnar. Menn eru ekki sammála um hvort 0 sé náttúrleg tala eða ekki. Í talnafræði er hún oft ekki höfð með nátturlegu tölunum en í tölvunarfræði eða rökfræði er þægilegt að hafa 0 með. Yfirleitt er hægt að sjá af samhengi hvora skilgreininguna menn nota hverju sinni.

Við getum bæði lagt og margfaldað saman náttúrlegar tölur, og fengið út nýja náttúrlega tölu. Þannig er hægt að skilgreina deilanleika, sem er mikilvægt hugtak í talnafræði: Við segjum að náttúrleg tala a gangi upp í náttúrlegri tölu c ef til er náttúrleg tala b þannig að a * b = c. Þannig gengur 2 upp í 6 því 2 * 3 = 6, og 3 gengur upp í 15 vegna þess að 3 * 5 = 15. Talan 2 gengur hins vegar ekki upp í 3, eins og einfalt er að sannfæra sig um.


Reiknað með náttúrlegum tölum.
Forngrikkir höfðu mikinn áhuga á náttúrlegu tölunum og deilanleikahugtakinu og notuðu það til að skilgreina marga undirflokka náttúrlegu talnanna. Til dæmis eru sléttar tölur þær tölur sem talan 2 gengur upp í, eins og 2, 4, 6 og 8, og oddatölur allar náttúrlegar tölur sem 2 gengur ekki upp í, en fyrstu nokkrar þeirra eru 1, 3, 5 og 7. Á svipaðan hátt má skilgreina ferningstölur, en það eru allar náttúrlegar tölur a sem má skrifa á forminu a = b² þar sem b er náttúrleg tala. Fyrstu fimm ferningstölurnar eru 1, 4, 9, 16 og 25.

Mikilvægasti undirflokkur náttúrlegu talnanna eru frumtölurnar, en það eru þær náttúrlegar tölur sem eru stærri en 1 og eru aðeins deilanlegar með 1 og sjálfri sér. Þær fyrstu eru 2, 3, 5, 7 og 11. Frumtölurnar hafa verið rannsakaðar mikið og eru meðal annars mikilvægar vegna þess að sérhverja náttúrlega tölu má skrifa á nákvæmlega einn hátt sem margfeldi af frumtölum.

Frekara lesefni

• Til hvers notum við frumtölur? eftir Rögnvald G. Möller.

Heimildir og myndir:

• N. Bourbaki. Éléments d'histoire des mathématiques. 1984. Masson, París.
  
• Náttúrlegar tölur á heimasíðu Mathworld.
• Tölur á Wikipedia.
• Hvað er tala? á vefsíðu Cut the knot.
• Myndin aftalnakubbunum var fengin af Flickr og er birt undir Creative Commons skírteini.

Aðrir spyrjendur voru:

Engilbert Svavarsson, Guðrún Helgadóttir, Gunnar Ásgeirsson, Halla Káradóttir, Kristrún Sigurðardóttir, Svanlaug Einarsdóttir, Sóley Jóhannesdóttir.