Hvað eru heilar og ræðar tölur?

Svar

Við höfum áður fjallað um náttúrlegar tölur í svari við spurningunni Hvað eru náttúrlegar tölur?. Þær eru ágætar til síns brúks en duga skammt einar og sér. Þess vegna þurfum við meðal annars á heilum og ræðum tölum að halda.

Ef við ætlum til dæmis að stunda viðskipti að einhverju ráði, þá verður fljótt þægilegt að innleiða neikvæðu tölurnar til að tákna skuldir. Við hugsum okkur því að fyrir hverja náttúrlega tölu n sé til tala -n sem uppfyllir jöfnuna n + (-n) = 0. Neikvæðu tölurnar ásamt náttúrlegu tölunum mynda heiltölurnar,

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

og þær má leggja saman og margfalda eins og náttúrlegu tölurnar. Mengi heiltalnanna er táknað með Z, og mengi náttúrlegu talnanna er hlutmengi í Z. Þó okkur þyki neikvæðu tölurnar alveg jafn eðlilegar og þær náttúrlegu, þá tók menn langan tíma að taka þær í sátt. Dæmi eru um að neikvæðu tölurnar hafi verið notaðar í viðskiptum á 7. öld á Indlandi, en mönnum þótti samt enn margt á huldu varðandi þær tíu öldum síðar. Í dag má skilgreina neikvæðu tölurnar á ýmsa vegu og þær þykja ekkert dularfyllri en hverjar aðrar tölur.

Stærðfræðingar fortíðar voru miklu fljótari að tileinka sér ræðar tölur en neikvæðar: Ræðar tölur eru þær tölur sem má skrifa á forminu a/b, þar sem a og b eru heiltölur og b er ekki jöfn 0. Dæmi um ræðar tölur eru 1/2, 7/5, 2, og -3/2, og mengi þeirra er táknað með Q. Reyndar voru ræðar tölur upphaflega aðeins skilgreindar sem hlutfall tveggja náttúrlegra talna en ekki tveggja heiltalna, en sú venja breyttist um leið og heiltölurnar voru teknar í sátt. Allar heilar tölur eru líka ræðar tölur, því heil tala a er jöfn brotinu a/1.

Hlutfallið á milli fjölda fólks og fjöldans af kökum er ræð tala.
Ræðu tölurnar eru notaðar til að tákna hlutföll, og framsetningin a/b er oft kölluð brot eða almennt brot ræðrar tölu. Það má einnig skrifa ræðar tölur út í tugakerfinu með svokölluðum tugabrotum, en þá fæst til dæmis

1/2 = 0,5
1/3 = 0,333...
9/8 = 1,125

Athugið að tugabrotaframsetning ræðu tölunnar 1/3 er óendanlega löng. Út af fyrir sig er ekkert athugavert við það, og hægt er að sýna fram á að ræðar tölur eru þær tölur sem hafa tugabrotaframsetningu sem endurtekur sig frá og með einhverju marki. Í brotinu 1/3 endurtekur talan 3 sig endalaust, og þar sem 1/2 = 0,5 = 0,5000.... er ljóst að í brotinu 1/2 endurtekur talan 0 sig endalaust. Aðrir möguleikar en að endurtaka eina tölu eru fyrir hendi; til dæmis er 1/11 = 0,090909... en þar er mynstrið 09 endurtekið að eilífu. Mörgum þykja tugabrot auðveldari viðureignar en almenn brot, en stærðfræðingar kjósa oft frekar að vinna með þau síðarnefndu.

Tengt efni á Vísindavefum:

• Til hvers notum við frumtölur? eftir Rögnvald G. Möller.
• Hvort eru fleiri mínus- eða plústölur í talnakerfi okkar? eftir Stefán Inga Valdimarsson og Ögmund Jónsson.

Heimildir og mynd:

• N. Bourbaki. Éléments d'histoire des mathématiques. 1984. Masson, París.
  
• Náttúrlegar tölur á heimasíðu Mathworld.
• Tölur á Wikipedia.
• Hvað er tala? á vefsíðu Cut the knot.
• Myndina af kökuritinu bjó höfundur til.

Aðrir spyrjendur voru:

Engilbert Svavarsson, Guðrún Helgadóttir, Gunnar Ásgeirsson, Halla Káradóttir, Kristrún Sigurðardóttir, Svanlaug Einarsdóttir, Sóley Jóhannesdóttir.