Getur jafnarma þríhyrningur haft allar hliðar jafnlangar?

Svar

Spurningin stafar væntanlega af óvissu spyrjanda um merkingu hugtaksins „jafnarma þríhyrningur“. Óformleg könnun höfundar þessa svars hefur leitt í ljós að tvær ólíkar skilgreiningar á hugtakinu koma fyrir í innlendri sem og erlendri umfjöllun um stærðfræði:

1. Jafnarma þríhyrningur er þríhyrningur sem hefur nákvæmlega tvær jafnlangar hliðar.
2. Jafnarma þríhyrningur er þríhyrningur sem hefur að minnsta kosti tvær jafnlangar hliðar.

Munurinn á þessum skilgreiningum felst einmitt í því hvort jafnarma þríhyrningur geti haft allar hliðar jafnlangar eða ekki: Svarið er „nei“ ef notast er við fyrri skilgreininguna, en „já“ ef notast er við þá seinni. Stærðfræðinemendur sem velta þessari spurningu fyrir sér verða þess vegna að athuga það í kennslubókinni sem þeir nota eða hjá kennara sínum við hvora skilgreininguna er stuðst hjá þeim.

Fyrir áhugasama verður nú fjallað nánar um hvora skilgreiningu fyrir sig og hugmyndirnar sem liggja þeim að baki.

Fyrri skilgreiningin á sér sögulegar rætur, því hana má rekja til Frumþátta, eins mikilvægasta og áhrifamesta stærðfræðirits sögunnar. Höfundur þess var gríski stærðfræðingurinn Evklíð sem var uppi um 300 f.Kr. Til marks um áhrif Frumþátta má nefna að ekkert verk, að frátalinni Biblíunni, hefur birst í eins mörgum útgáfum og að ritið var notað til stærðfræðikennslu allt fram á 20. öld.

Leifar af handriti Frumþátta frá 1. öld e.Kr. Smelltu á myndina til að sjá stærra eintak af henni.

Frumþættir hefjast á 22 skilgreiningum, þar sem fjallað er um algengustu hugtök rúmfræðinnar. Í 20. skilgreiningunni er sagt frá jafnarma þríhyrningum, en með orðum Evklíðs er hún svona:

Um þríhliða myndir: jafnhliða (e. equilateral) er sá þríhyrningur sem hefur þrjár jafnlangar hliðar, jafnarma (e. isosceles) er sá þríhyrningur sem hefur aðeins tvær jafnlangar hliðar, og mishliða (e. scalene) er sá þríhyrningur sem hefur þrjár mislangar hliðar.

Með þessari skilgreiningu er þríhyrningum skipt í þrjá aðskilda flokka eftir því hvort þeir hafa þrjár, tvær eða engar jafnlangar hliðar.

Hinir þrír sundurgreindu flokkar þríhyrninga samkvæmt Evklíð: Jafnhliða, jafnarma og mishliða þríhyrningar.

Á síðari öldum hafa stærðfræðingar í auknum mæli horfið frá skilgreiningu Evklíðs. Nú til dags hefur hugtakið „mishliða þríhyrningur“ fallið í gleymsku og flestir stærðfræðingar kjósa að skilgreina „jafnarma þríhyrning“ sem þríhyrning með að minnsta kosti tvær jafnlangar hliðar. Þessi skilgreining felur í sér að hugtökin „jafnhliða þríhyrningur“ og „jafnarma þríhyrningur“ lýsa ekki tveimur aðskildum flokkum þríhyrninga, líkt og hjá Evklíð, heldur er jafnhliða þríhyrningur sérstök gerð af jafnarma þríhyrningi.

Almennt leitast stærðfræðingar nútímans við að skilgreina hugtök sín á þennan hátt; þeir vilja frekar að eitt hugtak sé innifalið í öðru en að þau vísi til aðskilinna fyrirbæra. Þessu til stuðnings skulum við til dæmis skoða hugtökin samsíðungur, rétthyrningur og ferningur. Í stærðfræði eru þessi hugtök ekki látin lýsa þremur aðskildum gerðum ferhyrninga, heldur er rétthyrningur látinn vera sérstök gerð af samsíðungi, og ferningur sérstök gerð af rétthyrningi. Tengslum hugtakanna má lýsa með eftirfarandi mynd:


Kosturinn við þessa tilhögun er að öll vitneskja sem við öðlumst um samsíðunga færist sjálfkrafa yfir á rétthyrninga og ferninga. Ef stærðfræðingi tekst til dæmis að sanna að flatarmál samsíðungs sé margfeldi grunnlínu og hæðar veit hann umsvifalaust að sama regla gildir fyrir sérhvern rétthyrning og sérhvern ferning. Með þessum hætti getur hann í raun afgreitt þrjár reglur í einu og kemst þannig hjá óþarfa endurtekningum.

Á sama hátt er kosturinn við að láta jafnhliða þríhyrning vera sérstaka gerð jafnarma þríhyrnings að þá er nóg fyrir stærðfræðing að fjalla um jafnarma þríhyrninga í reglunum sem hann setur fram og sannar, því þær færast allar sjálfkrafa yfir á jafnhliða þríhyrninga.

Við skulum enda á stuttri samantekt. Í upphafi svarsins voru kynntar tvær skilgreiningar á hugtakinu „jafnarma þríhyrningur“. Fyrri skilgreininguna má rekja til Frumþátta Evklíðs og hugmyndin með henni er að skipta þríhyrningum í þrjá sundurgreinda flokka: Jafnhliða, jafnarma og mishliða þríhyrninga. Hugmyndin með seinni skilgreiningunni er hins vegar að láta jafnhliða þríhyrninga vera sérstaka gerð af jafnarma þríhyrningum. Báðar skilgreiningarnar eru í notkun nú til dags, en flestir stærðfræðingar aðhyllast seinni skilgreininguna. Ástæðan er sú að almennt vilja þeir frekar að hugtökin sem þeir vinna með tengist innbyrðis en að þau lýsi aðskildum fyrirbærum, því það auðveldar þeim að setja fram og sanna reglur um þau.

Heimildir:

• Heath, T.L. (1956). Euclid: The Thirteen Books of the Elements (2. útg.) (1. bindi). New York: Dover Publications, Inc.
• Katz, V.J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction. Massachusetts: Addison-Wesley.

Myndir:

• Wikipedia: Euclid's Elements. Sótt 29. janúar 2012.
• Aðrar myndir eru eftir höfund svarsins.