Hvernig hljóðar annað lögmál Newtons?

Svar

Lögmál Newtons eru kennd við enska eðlis- og stærðfræðinginn Sir Isaac Newton (1642-1727). Þessi lögmál eru þrjú og öll aflfræði Newtons eða hefðbundin aflfræði er reist á þeim ásamt þyngdarlögmálinu. Fjallað er um hin lögmálin í öðrum svörum hér á Vísindavefnum.

Annað lögmál Newtons hljóðar svo í þýðingu á hans eigin orðum í bókinni Stærðfræðilögmál náttúruspekinnar sem kom út árið 1687:

Breyting hreyfingarinnar [skriðþungans] er í réttu hlutfalli við hreyfikraftinn sem verkar; og hún verður í stefnu beinu línunnar sem krafturinn verkar eftir.

Newton gefur eftirfarandi skýringu:

Ef einhver kraftur framkallar einhverja hreyfingu, mun tvöfaldur kraftur framkalla tvöfalda hreyfingu, þrefaldur kraftur þrefalda hreyfingu, hvort sem kraftinum er beitt öllum í einni svipan eða smám saman í framhaldi. Ef hluturinn var áður á hreyfingu, þá bætist þessi hreyfing (sem stefnir alltaf í sömu átt og krafturinn sem framkallar hana) við fyrri hreyfingu eða dregst frá henni, eftir því hvort þær falla beinlínis saman eða eru innbyrðis öndverðar; eða þær sameinast skáhallt þegar þær eru á ská hvor miðað við aðra, þannig að fram kemur hreyfing saman sett úr hinum eins og þær ákvarðast.

Annað lögmál Newtons kemur mjög við sögu þegar menn eru að leysa verkefni í eðlisfræði. Það er nú á dögum oftast sett fram með stærðfræðilegu sniði sem diffurjafna. Þegar vitað er til að mynda hvernig "hreyfikrafturinn" er háður stað (og tíma) og hver staður og hraði tiltekins hlutar er í upphafi, má beita aðferðum stærðfræðinnar til að finna, hvernig hluturinn hreyfist alla tíð þaðan í frá. Þannig má leiða út, hvernig hlutir hreyfast með tímanum í ýmsum sértilvikum sem áður voru þekkt eða hægt var að kanna sérstaklega.

Til dæmis leiðir af þessu lögmáli hvernig jarðneskir hlutir falla til jarðar, hvort sem þeir detta frá kyrrstöðu eða þeim er kastað eða skotið beint eða skáhallt upp í loftið, niður á við eða lárétt. Hreyfingar kúlna og annarra hluta á skáborði er einnig vandalaust að reikna út frá þessu yfirgripsmikla lögmáli. Sömuleiðis má beita því til að leiða fram lögmál Keplers, þótt til þess þurfi öllu meiri stærðfræði ef menn vilja fá lögmálin fram í almennustu mynd. Hins vegar er það algengt og viðráðanlegt verkefni í eðlisfræði menntaskóla að tengja saman einfaldari atriðin í lögmálum Keplers og lögmál Newtons.

Þegar Newton talar um ‘breytingu hreyfingar’, mundum við nú á dögum tala um ‘breytingu skriðþunga’. Við yfirfærum lögmálið síðan á óendanlega stuttan tíma með því að tala um hröðun, sem er ekkert annað en breyting hraðans á tímaeiningu. Við segjum þá einfaldlega að krafturinn sé jafn massa sinnum hröðun. Og þá þarf að hafa í huga bæði stærð og stefnu krafts og hröðunar, eins og vísindamenn höfðu gert sér ljóst á dögum Newtons, þótt eðlisfræðikennarar viti mætavel að það er býsna strembið atriði.

Með athugasemdum Newtons um það, hvernig hin nýja hreyfing sem krafturinn veldur bætist við þá hreyfingu sem hluturinn hefur fyrir, er fengin glögg skýring á hinum ýmsu tilvikum í hreyfingu kasthluta. Þegar við sleppum kyrrstæðum hlut, gefur þyngdarkrafturinn honum smám saman "hreyfingu" (skriðþunga) í átt til jarðar. Þegar við hendum hlutnum beint upp í loftið, gefur þyngdarkrafturinn honum sífellt meiri hreyfingu í gagnstæða stefnu, þar til nýja hreyfingin niður á við verður jafnmikil og hin upphaflega hreyfing upp á við og hluturinn stöðvast eitt andartak, en fellur síðan með vaxandi hraða niður aftur.


Þegar við köstum hlut eða skjótum á ská upp í loftið, mundi hann fara með jöfnum hraða eftir skálínu upp á við ef ekki kæmi til þyngdarkrafturinn. Áhrifum hans má lýsa með því að hluturinn "falli" frá skálínunni með sama hætti og hluturinn í fyrsta dæminu fellur frá kyrrstöðu. Er þetta því glöggt dæmi um það sem Newton á við, þegar hann talar um hreyfingar sem “eru á ská hvor miðað við aðra, þannig að fram kemur hreyfing saman sett úr hinum eins og þær ákvarðast”. Þessi útskýring á hreyfingu kasthluta er mjög oft notuð í kennslubókum nú á dögum, og hefur því ekki verið bætt um betur síðan Newton setti meitluð orð sín á blað. Þannig fara kennslubókarhöfundar og aðrir óspart í smiðju til Newtons, oft án þess að vita af því.

Annað lögmál Newtons er líklega mikilvægast af lögmálum hans þó að þau myndi í rauninni órjúfanlega heild. Meðal annars er það oft notað í útreikningum eins og það kemur fyrir en hin lögmálin eru meira notuð óbeint, það er að segja að ýmsar niðurstöður eru leiddar út frá þeim og síðan notaðar í útreikningum og röksemdafærslum.

Í kennslubókum um eðlisfræði er lögmálið oft sett fram í orðum eða jöfnum þannig að krafturinn sé jafn massa hlutarins sinnum hröðun hans. Ef massi hlutarins er fasti (constant) jafngildir þetta því orðalagi sem Newton setti fram og sýnt var í upphafi svarsins, því að skriðþungi er massi sinnum hraði og hröðun er tengd breytingu á hraða.

Samkvæmt afstæðiskenningunni er massinn hins vegar einmitt ekki fasti heldur breytist hann þegar hraði hlutarins verður verulegur miðað við ljóshraðann í tómarúmi. En þá gildir framsetning Newtons þar sem talað er um breytingu hreyfingarinnar eða skriðþungans, en hitt orðalagið með massa sinnum hröðun er ekki rétt ef hraðinn er svo mikill að taka þurfi tillit til afstæðiskenningarinnar.

Við vitum ekki hvort það er tilviljun að Newton sjálfur skyldi hitta á að setja lögmál sitt þannig fram að það fær staðist í afstæðiskenningunni. En aflfræði Newtons gildir ekki þegar hraði hluta er svo mikill að taka þarf tillit til afstæðiskenningarinnar. Sumir hafa meira að segja gengið svo langt að líta svo á að hefðbundin aflfræði hafi verið “hrakin” með afstæðiskenningunni en aðrir benda á að menn styðjist ennþá við Newton með góðum árangri, til dæmis í verkfræði hægfara hluta.

Nánar er fjallað um alla þessa hluti í bók höfundar, Heimsmynd á hverfanda hveli, II, Reykjavík: Mál og menning, 1987. Texti svarsins fer nærri því sem þar stendur á bls. 274-275 og 278-281.


Mynd: Lucidcafé