Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:43 • sest 21:13 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 13:37 • Sest 06:11 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 02:59 • Síðdegis: 15:47 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 09:39 • Síðdegis: 21:50 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað er Banach-Tarski-þverstæðan?

Gunnar Þór Magnússon

Banach-Tarski-þverstæðan er setning í rúmfræði eftir stærðfræðingana Stefan Banach (1892 - 1945) og Alfred Tarski (1901 - 1983). Hún segir að hægt sé að skipta kúlu upp í endanlega marga hluta, færa hlutana til og snúa þeim án þess að breyta lögun þeirra eða stærð, og setja þá saman á nýjan leik þannig að út komi tvær kúlur sem eru nákvæmlega eins og sú sem byrjað var með.

Setningin er kölluð þverstæða vegna þess að hún leyfir okkur að tvöfalda rúmmál upphaflegu kúlunnar án þess að teygja eða stækka neina hluta hennar. Til að bæta gráu ofan á svart þarf ekki að skipta kúlunni í stjarnfræðilegan fjölda hluta, heldur nægja fimm. Ef við ættum kúlu úr gulli gætum við því skipt henni upp í fimm hluta, og raðað þeim saman í tvær kúlur úr gulli sem væru jafn stórar og sú sem við byrjuðum með. Þessum tveim kúlum gætum við skipt upp í fjórar kúlur af sömu stærð, og svo framvegis.



Kúlu má skipta upp í hluta, sem er hægt að setja saman þannig að út komi tvær kúlur, sem eru nákvæmlega eins og sú upprunalega.

Til allrar hamingju fyrir efnahag flestra landa er þetta aðeins hægt í stærðfræði, en ekki í daglega lífinu. Þegar kúlunni okkar er skipt upp í hluta kemur í ljós að einhverjir hlutanna þurfa að vera gríðarlega flóknir, og reyndar svo flóknir að það er ómögulegt að mæla rúmmál þeirra. Það er því ekki hægt að lýsa því hvernig maður skiptir kúlunni upp í hluta, heldur getum við aðeins sannað að skiptingin sem við sækjumst eftir sé til.

Til þess að sanna tilvist skiptingarinnar þarf að grípa til frumsendu stærðfræðinnar sem er kölluð valfrumsendan. Í einfaldaðri útgáfu segir hún að ef við höfum óendanlega margar krukkur með kúlum fyrir framan okkur, og ef að í hverri krukku er að minnsta kosti ein kúla, þá getum við valið eina kúlu úr hverri krukku. Miðað við reynslu okkar af heiminum virðist frumsendan augljós; ef það eru þrjár krukkur fyrir framan okkur, og í hverri eru nokkrar kúlur, þá er ekkert mál að velja eina kúlu úr hverri krukku. Enda notuðu stærðfræðingar valfrumsenduna í langan tíma án þess að gera sér grein fyrir að um sérstaka frumsendu væri að ræða.

Ef þetta væru óendanlega margar sælgætiskrukkur myndum við þurfa að nota valfrumsenduna til að fá okkur eitt af hverju nammi.

Þegar menn fóru að velta fyrir sér óendanleikanum í stærðfræði kom hins vegar í ljós að margt varðandi hann er ekki augljóst. Okkur gæti til dæmis þótt augljóst að til séu færri sléttar tölur en náttúrlegar. En ef við höfum slétta tölu getum við deilt í hana með tveim og fengið náttúrlega tölu. Þannig svarar nákvæmlega ein slétt tala til hverrar náttúrlegrar tölu, og samkvæmt áliti stærðfræðinnar eru sléttu tölurnar því jafn margar og náttúrlegu tölurnar. Á svipaðan hátt er ekki augljóst að við getum valið eina kúlu úr sérhverri af krukkunum okkar ef krukkurnar eru óendanlega margar, og því þarf að gera sérstaklega ráð fyrir því.

Valfrumsendan var sett fram af stærðfræðingnum Ernst Zermelo (1871 - 1953) árið 1904, og hún var mjög umdeild fyrstu áratugina þar á eftir, meðal annars vegna þess að hún leiðir til setninga á borð við Banach-Tarski-þverstæðuna. Frumsendan er hins vegar jafngild mörgum setningum sem mönnum þykja þægilegar, eins og að sérhvert vigurrúm hafi grunn, eða að ef okkur eru gefin tvö mengi, þá hafa þau annað hvort jafn mörg stök, eða annað hefur færri stök en hitt.

Í dag taka langflestir stærðfræðingar valfrumsendunni sem eðlilegum hlut þrátt fyrir þær undarlegu setningar sem má sanna með henni. Þeir gera það bæði út af þeim þægilegu setningum stærðfræðinnar sem eru jafngildar valfrumsendunni, og af því að án hennar er nokkuð erfitt að stunda ýmsar greinar stærðfræðinnar á borð við algebru og stærðfræðigreiningu.

Meira efni um stærðfræði á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

16.9.2008

Spyrjandi

Pétur Lúðvík Jónsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er Banach-Tarski-þverstæðan?“ Vísindavefurinn, 16. september 2008. Sótt 18. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=23806.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 16. september). Hvað er Banach-Tarski-þverstæðan? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=23806

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er Banach-Tarski-þverstæðan?“ Vísindavefurinn. 16. sep. 2008. Vefsíða. 18. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=23806>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað er Banach-Tarski-þverstæðan?
Banach-Tarski-þverstæðan er setning í rúmfræði eftir stærðfræðingana Stefan Banach (1892 - 1945) og Alfred Tarski (1901 - 1983). Hún segir að hægt sé að skipta kúlu upp í endanlega marga hluta, færa hlutana til og snúa þeim án þess að breyta lögun þeirra eða stærð, og setja þá saman á nýjan leik þannig að út komi tvær kúlur sem eru nákvæmlega eins og sú sem byrjað var með.

Setningin er kölluð þverstæða vegna þess að hún leyfir okkur að tvöfalda rúmmál upphaflegu kúlunnar án þess að teygja eða stækka neina hluta hennar. Til að bæta gráu ofan á svart þarf ekki að skipta kúlunni í stjarnfræðilegan fjölda hluta, heldur nægja fimm. Ef við ættum kúlu úr gulli gætum við því skipt henni upp í fimm hluta, og raðað þeim saman í tvær kúlur úr gulli sem væru jafn stórar og sú sem við byrjuðum með. Þessum tveim kúlum gætum við skipt upp í fjórar kúlur af sömu stærð, og svo framvegis.



Kúlu má skipta upp í hluta, sem er hægt að setja saman þannig að út komi tvær kúlur, sem eru nákvæmlega eins og sú upprunalega.

Til allrar hamingju fyrir efnahag flestra landa er þetta aðeins hægt í stærðfræði, en ekki í daglega lífinu. Þegar kúlunni okkar er skipt upp í hluta kemur í ljós að einhverjir hlutanna þurfa að vera gríðarlega flóknir, og reyndar svo flóknir að það er ómögulegt að mæla rúmmál þeirra. Það er því ekki hægt að lýsa því hvernig maður skiptir kúlunni upp í hluta, heldur getum við aðeins sannað að skiptingin sem við sækjumst eftir sé til.

Til þess að sanna tilvist skiptingarinnar þarf að grípa til frumsendu stærðfræðinnar sem er kölluð valfrumsendan. Í einfaldaðri útgáfu segir hún að ef við höfum óendanlega margar krukkur með kúlum fyrir framan okkur, og ef að í hverri krukku er að minnsta kosti ein kúla, þá getum við valið eina kúlu úr hverri krukku. Miðað við reynslu okkar af heiminum virðist frumsendan augljós; ef það eru þrjár krukkur fyrir framan okkur, og í hverri eru nokkrar kúlur, þá er ekkert mál að velja eina kúlu úr hverri krukku. Enda notuðu stærðfræðingar valfrumsenduna í langan tíma án þess að gera sér grein fyrir að um sérstaka frumsendu væri að ræða.

Ef þetta væru óendanlega margar sælgætiskrukkur myndum við þurfa að nota valfrumsenduna til að fá okkur eitt af hverju nammi.

Þegar menn fóru að velta fyrir sér óendanleikanum í stærðfræði kom hins vegar í ljós að margt varðandi hann er ekki augljóst. Okkur gæti til dæmis þótt augljóst að til séu færri sléttar tölur en náttúrlegar. En ef við höfum slétta tölu getum við deilt í hana með tveim og fengið náttúrlega tölu. Þannig svarar nákvæmlega ein slétt tala til hverrar náttúrlegrar tölu, og samkvæmt áliti stærðfræðinnar eru sléttu tölurnar því jafn margar og náttúrlegu tölurnar. Á svipaðan hátt er ekki augljóst að við getum valið eina kúlu úr sérhverri af krukkunum okkar ef krukkurnar eru óendanlega margar, og því þarf að gera sérstaklega ráð fyrir því.

Valfrumsendan var sett fram af stærðfræðingnum Ernst Zermelo (1871 - 1953) árið 1904, og hún var mjög umdeild fyrstu áratugina þar á eftir, meðal annars vegna þess að hún leiðir til setninga á borð við Banach-Tarski-þverstæðuna. Frumsendan er hins vegar jafngild mörgum setningum sem mönnum þykja þægilegar, eins og að sérhvert vigurrúm hafi grunn, eða að ef okkur eru gefin tvö mengi, þá hafa þau annað hvort jafn mörg stök, eða annað hefur færri stök en hitt.

Í dag taka langflestir stærðfræðingar valfrumsendunni sem eðlilegum hlut þrátt fyrir þær undarlegu setningar sem má sanna með henni. Þeir gera það bæði út af þeim þægilegu setningum stærðfræðinnar sem eru jafngildar valfrumsendunni, og af því að án hennar er nokkuð erfitt að stunda ýmsar greinar stærðfræðinnar á borð við algebru og stærðfræðigreiningu.

Meira efni um stærðfræði á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

...