Sólin
Rís 05:22 • sest 21:31
Tunglið
Rís 23:11 • Sest 05:11
Flóð
Árdegis: 06:38 • Síðdegis: 18:56
Fjara
Árdegis: 00:39 • Síðdegis: 12:46
Ég heyrði þessa skýringu á að 1 væri = 0,99.. óendanlega oft:Spurningin vísar í svar Jóns Kr. Arasonar við spurningunni Er talan 0,9999999... = 1? og er lesandanum bent á að rifja það upp. Svarið við spurningunni er já: Sönnunin eða rökfærslan sem spyrjandi lýsir er rétt. Í henni er beitt aðgerðum eins og margföldun og frádrætti sem eru góðar og gildar og hafa merkingu þó að stærðinni \(x\) sé lýst með óendanlegri röð. Líta má á tugabrotið \(x = 0,9999...\) sem kvótaröð sem svo er kölluð. Það sést glöggt ef við skrifum \[x=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+...+\frac{9}{10^{n}}+...\]\[=\frac{9}{10}[1+(\frac{1}{10})+(\frac{1}{10})^{2}+...+(\frac{1}{10})^{n-1}+...]\] Röðina má skrifa í almennari mynd sem \[x=a_{0}[1+q+q^{2}+...+q^{n}+...]\] eða \[x=a_0\cdot\sum_{i=0}^{\infty}q^{i}\]en í okkar dæmi er þá \(a_{0}=\frac{9}{10}=0,9\) og \(q=\frac{1}{10}=0,1\). Svona kvótaraðir eru samleitnar sem kallað er (hafa tiltekið gildi) ef 0 < \(q\) < 1. Við getum nú margfaldað kvótaröðina \(x\) með kvótanum \(q\). Fyrsti liðurinn í hornklofanum breytist þá úr 1 í \(q\), það er að segja í annan liðinn, annar liðurinn breytist í þriðja liðinn og svo framvegis. Með því að röðin er óendanleg jafngildir þetta því að fyrsti liðurinn hafi fallið niður og ekkert annað gerst. Við getum lýst þessu með jöfnunni \[q\cdot x=x-a_{0}\]Með því að leysa þetta fyrir \(x\) fáum við \[x=\frac{a_{0}}{1-q}\]Í upphaflega dæminu var \(a_{0}=0,9\) og \(q=0,1\) þannig að við fáum með þessari almennu aðferð að \(x=1\) eins og spyrjandi fékk líka. Þess má geta að menn hafa glímt við þessi mál allar götur síðan á dögum Forngrikkja. Margir kannast líklega við þverstæðuna eða gátuna um Akkiles og skjaldbökuna en hún er náskyld svokallaðri þverstæðu Zenons sem fjallað er um í svari Ólafs Páls Jónssonar við spurningunni Er hægt að hugsa til enda að eitthvað sé endalaust? Kjarni máls er sá að útkoma úr samlagningu getur verið endanleg tala þó að verið sé að leggja saman óendanlega margar tölur. Óendanlega tugabrotið 0,999... táknar einmitt í raun summu af óendanlega mörgum liðum en ef að er gáð kemur í ljós að summan er engu að síður jöfn endanlegu tölunni 1. Höfundur þakkar Jóni Kr. Arasyni stærðfræðiprófessor yfirlestur og góðar ábendingar.\(x = 0,99...\) \(10x = 9,99...\) \(10x - x = 9\) eða \(9x = 9\) \(x = 1\)Er þetta rétt?
Mynd: HB
