Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:40 • sest 21:16 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:13 • Sest 05:59 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Hugvísindi Vísindasaga
Vísindavefur Dagatal vísindamanna
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hver var Andrei Kolmogorov og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?

Hermann Þórisson

Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) var einn fremsti stærðfræðingur Sovétríkjanna, jafnvel sá fremsti. Hann er þekktastur fyrir að leggja formlegan grunn að nútíma líkindafræði og fyrir rannsóknir á því sviði. En brautryðjendastarf hans á öðrum sviðum stærðfræða var líka umfangsmikið og risti djúpt.

Móðir hans, Mariya Yakovlevna Kolmogorova, var á leið heim frá Krím til Tunoshna í Rússlandi þegar hann fæddist og hún lifði barnsburðinn ekki af. Hún var ógift og systir hennar Vera Yakovlena Kolmogorova gekk honum í móður stað. Kolmogorov ólst upp á heimili afa síns sem var aðalsmaður. Fjölskyldan tók þátt í andspyrnunni gegn keisaraveldinu og þær Mariya og Vera voru settar í varðhald mánuðum saman vegna þess. Á heimilinu var leynileg prentsmiðja og eitt sinn er húsleit var gerð voru andspyrnurit gegn keisaraveldinu falin undir vöggu Kolmogorovs og fundust ekki. Fimm eða sex ára uppgötvaði hann regluna að
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42 og svo framvegis.
Í unglingaskóla hannaði hann eilífðarvélar og faldi svo vel hvernig þær voru í rauninni drifnar að kennararnir áttuðu sig ekki á því. Faðir Kolmogorovs, Nikolai Matveevich Kataev, lærði búfræði. Hann var sendur í útlegð en varð svo deildarstjóri í búnaðarráðuneytinu eftir byltingu. Hann féll á suðurvígstöðvunum árið 1919.

Kolmogorov hóf nám í stærðfræði við Moskvuháskóla árið 1920. Hann kynnti sér líka málmfræði og sögu og fyrstu rannsóknir hans fjölluðu um landeignir í Novgorod á 15. og 16. öld. Sögukennarinn er sagður hafa gert þá (réttmætu) athugasemd að Kolmogorov hafi aðeins lagt fram eina sönnun á niðurstöðu sinni og slíkt dugi kannski í stærðfræði en sagnfræðingar vilji helst tíu sannanir.


Andrei Kolmogorov (1903-1987).

Stórveldi Sovétríkjanna í stærðfræði var arfur frá keisaratímanum. Rætur þess má rekja til Pétursborgarakademíunnar sem þau Pétur og Katrín miklu stofnuðu á 18. öld. Sovétríkin ræktuðu þennan arf vel. Samtíða Kolmogorov í Moskvu voru meðal annars Egorov, Suslin, Urysohn, Khinchin, Stephanov sem var helsti kennari Kolmogorovs í byrjun, Luzin sem varð leiðbeinandi hans í doktorsnámi, og Aleksandrov sem hann bast ævilöngum vináttuböndum og sem dró hann inn í pólitískar ofsóknir gegn Luzin árið 1936.

Fyrstu stærðfræðiuppgötvanir Kolmogorovs voru í Fourier-greiningu. Vakti ein niðurstaða hans strax alþjóðlega athygli: Hann setti fram fyrsta dæmið um tegranlegt fall með Fourier-röð sem er ósamleitin næstum alls staðar (næstum alls staðar skerpti hann síðar í alls staðar). Þetta var árið 1922 þegar hann var aðeins 19 ára og enn í grunnnámi. Þremur árum síðar skrifaði hann, ásamt Khinchin, fyrstu grein sína um líkindi. Þar var þriggja raða setningin um sterka samleitni slembistærðarunu og Kolmogorov-ójafnan. Þessar niðurstöður leiddu síðar af sér martingalaójöfnurnar og slembigreiningu.

Þegar hér var komið sögu, árið 1925, hóf Kolmogorov doktorsnám. Því lauk árið 1929 og þá hafði hann skrifað 18 greinar. Þær fjölluðu meðal annars um hið sterka lögmál mikils fjölda, um lögmál ítrekaða lograns, um útvíkkun á diffrun og tegrun og um lögmálið um annað tveggja í innsæisrökfræði. Að loknu doktorsnámi lagðist Kolmogorov í ferðir með Aleksandrov, bæði niður Volgu og áfram um Kákasus til Armeníu til að endurnærast eftir áratugarlöng átök, og svo um Þýskaland og Frakkland þar sem hann átti langar samræður við þá Lévy og Fréchet sem voru í fararbroddi líkindarannsókna í Vestur-Evrópu.

Árið 1931 varð Kolmogorov prófessor við Moskvuháskóla. Sama ár birti hann grein um Markovferli í samfelldu rúmi og tíma. Hún lagði grunninn að nútíma flöktferlum og þar var sett fram sambandið milli Markovferla og hlutafleiðujafna. Þótt þessi grein hafi fjallað um slembiferli (fyrirbæri sem þróast í tíma háð tilviljun) var það gert með aðferðum stærðfræðigreiningar en ekki líkindafræði.

Enn var eftir að leggja nægilega traustan grunn að líkindafræðinni. Það gerði Kolmogorov svo í hnitmiðaðri grein, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, sem kom út árið 1933. Skilgreining Kolmogorovs á líkindum er furðanlega sjálfsögð: minnstu líkindi eru 0, mestu líkindi eru 1, og ef atburður (takið eftir því að hugtakið atburður hefur hér ekki verið skilgreint formlega, þar liggur hundur grafinn, leiðum hann hjá okkur) er samsettur af runu ósamrýmanlegra atburða þá eru líkindin á honum summan af líkindum þeirra hvers fyrir sig.

Haft er eftir Bertrand Russell að allir tali um líkindi en enginn viti hvað þau eru. Ýmsir (von Mises, Keines, de Finetti) reyndu að skilgreina líkindi á grundvelli einhverrar veruleikatúlkunar en Kolmogorov horfði einfaldlega fram hjá því hvað líkindi „eru“. Hann lagði aðeins stærðfræðilega eiginleika þeirra til grundvallar. Þetta leysti líkindafræðina úr læðingi með því að losa hana við veruleikatúlkun og gera hana að hreinni stærðfræði. Næsta áratuginn helltust yfir nýjar niðurstöður og mörg ný sérsvið tóku að mótast.

Samhliða þessu hélt Kolmogorov áfram að láta til sín taka á öðrum sviðum stærðfræða. Í grannfræði setti hann fram og rannsakaði hjásvipfræðigrúpur á fjórða áratugnum samtímis og óháð Alexander. Á stríðsárunum birti hann tvær grundvallandi greinar um iðufræði. Þau fræði skipta til dæmis máli fyrir loftflæði úr þotuhreyflum og fyrir hafstrauma, en þess má geta að árin 1970-72 sigldi Kolmogorov umhverfis jörðina með rannsóknaskipi sem stjórnandi rannsókna á iðukenndum hafstraumum. Á sjötta áratugnum skrifaði hann mikilvægar greinar um hreyfifræði sem lutu að gangi himintungla.

Árið 1900 lagði David Hilbert 23 verkefni fyrir stærðfræðinga tuttugustu aldar. Kolmogorov leysti þrettánda verkefnið árið 1957 með því að sýna, andstætt því sem Hilbert hélt, að samfellt fall af þremur breytistærðum megi setja fram (á vissan hátt) með samfelldum föllum af tveimur breytistærðum. Árið 1933 hafði hann leyst fyrsta atriðið í sjötta verkefni Hilberts með því að setja líkindafræðina á frumsendugrunn. Hann gerði reyndar aðra atlögu að því verkefni: Á sjöunda áratugnum kynnti hann til sögunnar og þróaði flækjufræði en hún fjallar um hvað það þýði að ein tiltekin talnaruna sé slembin í sér. Þetta slembihugtak er gjörólíkt því sem líkindafræðin fæst við þar sem talnaruna er slembin vegna þess hvernig hún verður til, eins og til dæmis við endurtekin krónuköst.

Árið 1942 kvæntist Kolmogorov Önnu Dmitrievnu Egorovu. Þau eignuðust ekki börn en frá því hann kenndi í unglingaskóla til að halda sér uppi í háskólanámi hafði hann hins vegar yndi af að kenna áhugasömum börnum. Samhliða þróun flækjufræðinnar tók hann að sér einn af skólum Moskvuháskóla fyrir hæfileikarík börn og varði ómældum tíma í að semja kennsluefni og kenna þeim.

Að lokum má geta þess að sá sem þetta skrifar var gestur við Steklov-stærðfræðistofnunina í Moskvu í október 1987, þegar Kolmogorv lá banaleguna, og átti samræður við Prokhorov nemanda hans sem þá var yfir stofnuninni. Prokhorov sagði að Kolmogorov hefði komið til Íslands og orðið yfir sig hrifinn af hversu opið og lýðræðislegt þjóðfélagið var.

Heimildir og frekara lesefni:

Myndir:
  • Fyrri myndin er úr safni höfundar.
  • Kolmogorov.com. Sótt 14.1.2011.

Höfundur

Hermann Þórisson

Hermann Þórisson

prófessor í stærðfræði við HÍ

Útgáfudagur

12.1.2011

Spyrjandi

Ritstjórn

Efnisorð

Tilvísun

Hermann Þórisson. „Hver var Andrei Kolmogorov og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn, 12. janúar 2011. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=58127.

Hermann Þórisson. (2011, 12. janúar). Hver var Andrei Kolmogorov og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=58127

Hermann Þórisson. „Hver var Andrei Kolmogorov og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn. 12. jan. 2011. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=58127>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hver var Andrei Kolmogorov og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?
Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) var einn fremsti stærðfræðingur Sovétríkjanna, jafnvel sá fremsti. Hann er þekktastur fyrir að leggja formlegan grunn að nútíma líkindafræði og fyrir rannsóknir á því sviði. En brautryðjendastarf hans á öðrum sviðum stærðfræða var líka umfangsmikið og risti djúpt.

Móðir hans, Mariya Yakovlevna Kolmogorova, var á leið heim frá Krím til Tunoshna í Rússlandi þegar hann fæddist og hún lifði barnsburðinn ekki af. Hún var ógift og systir hennar Vera Yakovlena Kolmogorova gekk honum í móður stað. Kolmogorov ólst upp á heimili afa síns sem var aðalsmaður. Fjölskyldan tók þátt í andspyrnunni gegn keisaraveldinu og þær Mariya og Vera voru settar í varðhald mánuðum saman vegna þess. Á heimilinu var leynileg prentsmiðja og eitt sinn er húsleit var gerð voru andspyrnurit gegn keisaraveldinu falin undir vöggu Kolmogorovs og fundust ekki. Fimm eða sex ára uppgötvaði hann regluna að
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42 og svo framvegis.
Í unglingaskóla hannaði hann eilífðarvélar og faldi svo vel hvernig þær voru í rauninni drifnar að kennararnir áttuðu sig ekki á því. Faðir Kolmogorovs, Nikolai Matveevich Kataev, lærði búfræði. Hann var sendur í útlegð en varð svo deildarstjóri í búnaðarráðuneytinu eftir byltingu. Hann féll á suðurvígstöðvunum árið 1919.

Kolmogorov hóf nám í stærðfræði við Moskvuháskóla árið 1920. Hann kynnti sér líka málmfræði og sögu og fyrstu rannsóknir hans fjölluðu um landeignir í Novgorod á 15. og 16. öld. Sögukennarinn er sagður hafa gert þá (réttmætu) athugasemd að Kolmogorov hafi aðeins lagt fram eina sönnun á niðurstöðu sinni og slíkt dugi kannski í stærðfræði en sagnfræðingar vilji helst tíu sannanir.


Andrei Kolmogorov (1903-1987).

Stórveldi Sovétríkjanna í stærðfræði var arfur frá keisaratímanum. Rætur þess má rekja til Pétursborgarakademíunnar sem þau Pétur og Katrín miklu stofnuðu á 18. öld. Sovétríkin ræktuðu þennan arf vel. Samtíða Kolmogorov í Moskvu voru meðal annars Egorov, Suslin, Urysohn, Khinchin, Stephanov sem var helsti kennari Kolmogorovs í byrjun, Luzin sem varð leiðbeinandi hans í doktorsnámi, og Aleksandrov sem hann bast ævilöngum vináttuböndum og sem dró hann inn í pólitískar ofsóknir gegn Luzin árið 1936.

Fyrstu stærðfræðiuppgötvanir Kolmogorovs voru í Fourier-greiningu. Vakti ein niðurstaða hans strax alþjóðlega athygli: Hann setti fram fyrsta dæmið um tegranlegt fall með Fourier-röð sem er ósamleitin næstum alls staðar (næstum alls staðar skerpti hann síðar í alls staðar). Þetta var árið 1922 þegar hann var aðeins 19 ára og enn í grunnnámi. Þremur árum síðar skrifaði hann, ásamt Khinchin, fyrstu grein sína um líkindi. Þar var þriggja raða setningin um sterka samleitni slembistærðarunu og Kolmogorov-ójafnan. Þessar niðurstöður leiddu síðar af sér martingalaójöfnurnar og slembigreiningu.

Þegar hér var komið sögu, árið 1925, hóf Kolmogorov doktorsnám. Því lauk árið 1929 og þá hafði hann skrifað 18 greinar. Þær fjölluðu meðal annars um hið sterka lögmál mikils fjölda, um lögmál ítrekaða lograns, um útvíkkun á diffrun og tegrun og um lögmálið um annað tveggja í innsæisrökfræði. Að loknu doktorsnámi lagðist Kolmogorov í ferðir með Aleksandrov, bæði niður Volgu og áfram um Kákasus til Armeníu til að endurnærast eftir áratugarlöng átök, og svo um Þýskaland og Frakkland þar sem hann átti langar samræður við þá Lévy og Fréchet sem voru í fararbroddi líkindarannsókna í Vestur-Evrópu.

Árið 1931 varð Kolmogorov prófessor við Moskvuháskóla. Sama ár birti hann grein um Markovferli í samfelldu rúmi og tíma. Hún lagði grunninn að nútíma flöktferlum og þar var sett fram sambandið milli Markovferla og hlutafleiðujafna. Þótt þessi grein hafi fjallað um slembiferli (fyrirbæri sem þróast í tíma háð tilviljun) var það gert með aðferðum stærðfræðigreiningar en ekki líkindafræði.

Enn var eftir að leggja nægilega traustan grunn að líkindafræðinni. Það gerði Kolmogorov svo í hnitmiðaðri grein, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, sem kom út árið 1933. Skilgreining Kolmogorovs á líkindum er furðanlega sjálfsögð: minnstu líkindi eru 0, mestu líkindi eru 1, og ef atburður (takið eftir því að hugtakið atburður hefur hér ekki verið skilgreint formlega, þar liggur hundur grafinn, leiðum hann hjá okkur) er samsettur af runu ósamrýmanlegra atburða þá eru líkindin á honum summan af líkindum þeirra hvers fyrir sig.

Haft er eftir Bertrand Russell að allir tali um líkindi en enginn viti hvað þau eru. Ýmsir (von Mises, Keines, de Finetti) reyndu að skilgreina líkindi á grundvelli einhverrar veruleikatúlkunar en Kolmogorov horfði einfaldlega fram hjá því hvað líkindi „eru“. Hann lagði aðeins stærðfræðilega eiginleika þeirra til grundvallar. Þetta leysti líkindafræðina úr læðingi með því að losa hana við veruleikatúlkun og gera hana að hreinni stærðfræði. Næsta áratuginn helltust yfir nýjar niðurstöður og mörg ný sérsvið tóku að mótast.

Samhliða þessu hélt Kolmogorov áfram að láta til sín taka á öðrum sviðum stærðfræða. Í grannfræði setti hann fram og rannsakaði hjásvipfræðigrúpur á fjórða áratugnum samtímis og óháð Alexander. Á stríðsárunum birti hann tvær grundvallandi greinar um iðufræði. Þau fræði skipta til dæmis máli fyrir loftflæði úr þotuhreyflum og fyrir hafstrauma, en þess má geta að árin 1970-72 sigldi Kolmogorov umhverfis jörðina með rannsóknaskipi sem stjórnandi rannsókna á iðukenndum hafstraumum. Á sjötta áratugnum skrifaði hann mikilvægar greinar um hreyfifræði sem lutu að gangi himintungla.

Árið 1900 lagði David Hilbert 23 verkefni fyrir stærðfræðinga tuttugustu aldar. Kolmogorov leysti þrettánda verkefnið árið 1957 með því að sýna, andstætt því sem Hilbert hélt, að samfellt fall af þremur breytistærðum megi setja fram (á vissan hátt) með samfelldum föllum af tveimur breytistærðum. Árið 1933 hafði hann leyst fyrsta atriðið í sjötta verkefni Hilberts með því að setja líkindafræðina á frumsendugrunn. Hann gerði reyndar aðra atlögu að því verkefni: Á sjöunda áratugnum kynnti hann til sögunnar og þróaði flækjufræði en hún fjallar um hvað það þýði að ein tiltekin talnaruna sé slembin í sér. Þetta slembihugtak er gjörólíkt því sem líkindafræðin fæst við þar sem talnaruna er slembin vegna þess hvernig hún verður til, eins og til dæmis við endurtekin krónuköst.

Árið 1942 kvæntist Kolmogorov Önnu Dmitrievnu Egorovu. Þau eignuðust ekki börn en frá því hann kenndi í unglingaskóla til að halda sér uppi í háskólanámi hafði hann hins vegar yndi af að kenna áhugasömum börnum. Samhliða þróun flækjufræðinnar tók hann að sér einn af skólum Moskvuháskóla fyrir hæfileikarík börn og varði ómældum tíma í að semja kennsluefni og kenna þeim.

Að lokum má geta þess að sá sem þetta skrifar var gestur við Steklov-stærðfræðistofnunina í Moskvu í október 1987, þegar Kolmogorv lá banaleguna, og átti samræður við Prokhorov nemanda hans sem þá var yfir stofnuninni. Prokhorov sagði að Kolmogorov hefði komið til Íslands og orðið yfir sig hrifinn af hversu opið og lýðræðislegt þjóðfélagið var.

Heimildir og frekara lesefni:

Myndir:
  • Fyrri myndin er úr safni höfundar.
  • Kolmogorov.com. Sótt 14.1.2011.

...