Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra?
Spurninguna má umorða þannig að við viljum athuga hvort til séu tvær tölur $x$ og $y$ þannig að

\[x \cdot y = x + y.\]

Með því að draga $y$ frá báðum hliðum jöfnunnar má umrita hana yfir á formið

\[x \cdot y - y = x.\]

Með því að taka $y$ út fyrir sviga í vinstri hlið fæst

\[y \cdot (x-1) = x.\]

Ef við látum $x$ vera $1$ í þessari jöfnu fæst $y \cdot (1-1) = y \cdot 0 = 0$ í vinstri hlið og $1$ í hægri hlið. Jafnan segir þá að $0 = 1$, sem fær augljóslega ekki staðist. Þess vegna sjáum við að $x$ getur ekki verið $1$ og þar með getur sviginn $(x-1)$ ekki verið $0$. Því getum við deilt í báðar hliðar jöfnunnar með $(x-1)$ og fengið:

\[y = \frac{x}{x-1}.\]

Um leið og $x$ er látið vera einhver þekkt tala, önnur en $1$, sýnir þessi formúla hvernig hægt er að reikna tilsvarandi gildi á $y$ þannig að upphaflegu jöfnunni sé fullnægt, það er þannig að $x \cdot y = x + y$. Þar sem $x$ getur verið hvaða tala sem er, önnur en $1$, eru til óendanlega mörg pör af tölum sem hafa þann eiginleika að margfeldi þeirra sé jafnt summu þeirra.

Tökum nokkur dæmi um slík pör. Ef $x$ er látið vera $2$ gefur formúlan að framan að

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{2}{2-1} = 2.\]

Þetta þýðir að margfeldi talnanna $2$ og $2$ er jafnt summu þeirra, sem auðvelt er að sannreyna:

\[2\cdot2=4 \quad\text{og}\quad 2+2=4.\]

Ef $x$ er látið vera $-1$ gefur formúlan að framan að

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{-1-1} = \frac12.\]

Þetta þýðir að margfeldi talnanna $-1$ og $1/2$ er jafnt summu þeirra, sem einnig er auðvelt að sannreyna:

\[(-1) \cdot \frac12 = - \frac12 \quad\text{og}\quad -1 + \frac12 = -\frac12.\]

Ef $x$ er látið vera $3$ gefur formúlan að framan að

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{3}{3-1} = \frac32.\]

Þetta þýðir að margfeldi talnanna $3$ og $3/2$ er jafnt summu þeirra, sem aftur er auðvelt að sannreyna:

\[3 \cdot \frac32 = \frac{3 \cdot 3}2 = \frac92 \quad\text{og}\quad 3+\frac32 = \frac62+\frac32 = \frac92.\]

Svona mætti halda áfram endalaust með því að láta $x$ sífellt taka nýtt gildi og nota formúluna að framan til að reikna tilsvarandi gildi á $y$. Í töflunni hér að neðan má sjá dæmi um nokkur talnapör sem fást með þessum hætti. Lesendur geta sannreynt sjálfir að tölurnar tvær í sérhverri línu töflunnar hafi sama margfeldi og summu.

$x$	$y$
$6$	$6/5$
$5$	$5/4$
$4$	$4/3$
$3$	$3/2$
$2$	$2$
$0$	$0$
$-1$	$1/2$
$-2$	$2/3$
$-3$	$3/4$
$-4$	$4/5$

Ef við nú höfum aðeins áhuga á heiltölulausnum þessa verkefnis, það er að finna öll pör af heilum tölum $x$ og $y$ þannig að $x \cdot y = x + y$, er auðvelt að sjá að $0$ og $0$ annars vegar og $2$ og $2$ hins vegar eru einu pörin. Þetta er vegna þess að ef $x$ er heil tala getum við ritað

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = 1 + \frac1{x-1}.\]

Til þess að $y$ sé líka heil tala verður brotið $\frac1{x-1}$ að vera heil tala, en það gerist aðeins þegar nefnarinn $(x-1)$ er $-1$ eða $1$, sem gerist aðeins þegar $x$ er $0$ eða $2$. Ef $x$ er einhver önnur heil tala en $0$ eða $2$ er $y$ þess vegna ekki heil tala.

Spurningin í heild sinni hljóðaði svo:

Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra? Eru mörg dæmi um slíkt eða einungis örfá og er hægt að sanna að þau séu ekki fleiri en eitthvað ákveðið?

...