Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:40 • sest 21:16 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:13 • Sest 05:59 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Hugvísindi Vísindasaga
Vísindavefur Dagatal vísindamanna
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað getið þið sagt mér um Blaise Pascal og framlag hans til stærðfræðinnar?

Hermann Þórisson

Blaise Pascal (1623-1662) var franskur stærðfræðingur, eðlisfræðingur, uppfinningamaður, trúspekingur og ritsnillingur. Hann fæddist í Clermont, sem nú heitir Clermont-Ferrand í Auvergne, þar sem faðir hans var forseti skattdómsins og þekktur áhugamaður um stærðfræði og vísindi. Móðir hans dó þegar hann var þriggja ára og árið 1631 seldi(!) faðir hans stöðu sína og fluttist með Pascal og systur hans tvær til Parísar en hóf síðar störf við skattinn í Rúðuborg.

Faðir Pascals sá um menntun barna sinna sem öll voru mjög hæfileikarík. Hann var þeirrar óvenjulegu skoðunar að stærðfræði krefðist þroska og henti ekki börnum og bannaði þeim að fást við hana. Sonurinn stalst til að fikta við stærðfræði og þegar faðir hans uppgötvaði að hann, tólf ára gamall, hafði upp á eigin spýtur fundið út að hornasumma þríhyrnings er 180 gráður leyfði hann honum að kynna sér Evklíð og fór svo að taka hann með á fundi þar sem margir fremstu stærðfræðingar þess tíma hittust.

Sextán ára skrifaði Pascal sína fyrstu stærðfræðigrein. Þar sannaði hann setningu í varprúmfræði sem enn er kennd við hann. Setningin segir að ef sexhyrningur er innritaður í keilusnið (til dæmis hring) þá liggja skurðpunktar framlenginga mótstæðra hliða á beinni línu. Franski heimspekingurinn og stærðfræðingurinn René Descartes (1596-1650) mun í fyrstu ekki hafa trúað því að þessi grein gæti verið verk svo ungs manns. Átján ára hóf Pascal að þróa reiknivél til að auðvelda föður sínum vinnu við skattheimtuna og næsta áratuginn smíðaði hann tuttugu eintök af þessari vél, sem kallast Pascaline.


Pascaline-reiknivélin.

Árið 1646, þegar Pascal var 23 ára, hafði hann frétt af tilraun ítalska eðlis- og stærðfræðingsins Evangelistas Torricellis (1608-1647) og framkvæmdi hana sjálfur. Hún er fólgin í því að setja tilraunaglas fyllt kvikasilfri á hvolf í skál með kvikasilfri. Ef botni glassins er lyft upp úr skálinni helst kvikasilfrið allt í glasinu til að byrja með en þegar botninn er kominn í vissa hæð hættir kvikasilfrið að fylgja með og rými myndast fyrir ofan það. Pascal setti fram þá skýringu á þessu að loftþrýstingur haldi kvikasilfrinu uppi, en þegar kvikasilfursúlan væri orðin nógu há dygði loftþrýstingurinn ekki til og því myndaðist tómarúm fyrir ofan súluna. Hann framkvæmdi tilraunir sem sýndu að kvikasilfurssúlan lækkar eftir því sem hærra er farið með svona loftvog. Í tengslum við þessar rannsóknir setti hann fram það meginviðhorf tilraunavísinda sem vísindaheimspekingurinn Karl Popper (1902-1994) hóf til vegs á tuttugustu öld, að til að kanna gildi kenningar dugi ekki að reyna að staðfesta hana heldur þurfi líka að reyna að sýna fram á að hún sé ekki rétt. Ef kenningin standist ekki eina slíka prófraun sé hún röng. Pascal setti einnig fram lögmál um þrýsting í vökvum sem kennt er við hann og liggur meðal annars til grundvallar vökvadælum eins og nú eru notaðar til dæmis í hemla- og stýribúnaði bíla.

Árið 1653 skrifaði Pascal grein um eftirfarandi töflu:

1111111…
123456
1361015
141020
1515
16
1
…
Taflan er búin til þannig að talan 1 er sett í öll sætin í efstu línu og öll sætin í dálknum lengst til vinstri. Síðan er hver skálínan á fætur annarri fyllt með því að setja í hvert sæti þá tölu sem fæst með því að leggja saman næstu tölu fyrir ofan og næstu tölu til vinstri. Til dæmis fæst 15 hér að ofan með því að leggja saman 5 og 10. Pascal sannaði að tala númer k + 1 í skálínu númer n + 1 er: $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Þótt taflan sé töluvert eldri en hann þá er hún nú kölluð Pascalþríhyrningurinn. Mikilvægi þessa þríhyrnings stafar af því að fjöldi möguleika á að velja k stök úr mengi með n stökum er tala númer k + 1 í skálínu númer n + 1. Til dæmis er hægt að velja tvö stök á 15 vegu úr mengi með sex stökum. Þetta kemur sér í lagi að gagni í líkindareikningi. Ef til dæmis tveir menn eru valdir af handahófi úr sex manna hópi þá eru líkurnar 1/15 á að tveir tilteknir vinir í hópnum séu báðir valdir.

Uppruni líkindafræðinnar er yfirleitt rakinn til ársins 1654 þegar Pascal hóf bréfaskipti við landa sinn Pierre de Fermat (1601-1665). Girolamo Cardano (1501-1576) fjallaði reyndar um jafnar líkur um miðja 16. öld, en komst ekki að neinum markverðum niðurstöðum. Galíleó Galíleí (1564-1642) notaði einnig jafnar líkur til að skoða teningaköst, og rétt reiknaðar líkur fyrir þrjú köst mun vera að finna í þrettándualdar ljóðinu De vetula.

Bréfaskipti þeirra Pascals og Fermats hófust vegna spurninga um fjárhættuspil sem menn að nafni Antoine Gombaud, Chevalier de Méré og Damien Mitton lögðu fyrir Pascal. Krónuköst, teningaköst og einföld fjárhættuspil hafa sömu þýðingu í líkindafræði og þríhyrningar, hringir og keilusnið hafa í rúmfræði: skilningur á þeim auðveldar rannsókn á flóknari fyrirbærum.


Málverk frá 17. öld af Blaise Pascal eftir óþekktan málara.

Hér er dæmi um verkefni sem Pascal og Fermat leystu, en það hafði þá velkst fyrir mönnum um aldir. Tveir menn leika eftirfarandi leik. Krónu er kastað og fær annar eitt stig ef framhliðin kemur upp og hinn eitt stig ef bakhliðin kemur upp. Vinnur sá sem fyrr fær n stig þar sem n er einhver fyrirfram tiltekinn fjöldi. Mennirnir urðu að hætta leiknum þegar annan vantaði eitt stig til að vinna og hinn vantaði tvö stig. Hvernig á að skipta vinningsupphæðinni?

Pascal og Fermat komust báðir að þeirri niðurstöðu að sá sem vantar eitt stig ætti að fá 3/4 af vinningsupphæðinni. Útleiðsla Fermats var á þessa leið: Fjórar jafn líklegar útkomur koma til greina við svona aðstæður ef leikurinn væri leikinn til enda,
  • framhlið í næsta kasti og framhlið í þarnæsta,
  • framhlið í næsta kasti og bakhlið í þarnæsta,
  • bakhlið í næsta kasti og framhlið í þarnæsta,
  • bakhlið í næsta kasti og bakhlið í þarnæsta.
Þrjár útkomur af þessum fjórum þýða að sá sem vantar eitt stig vinni og vinningslíkur hans eru því 3/4 og því á hann að fá 3/4 af vinningsupphæðinni.

Útleiðsla Pascals var hins vegar á þessa leið: Með helmings líkum fær sá sem vantar eitt stig alla vinningsupphæðina eftir næsta kast. Með helmings líkum vantar báða eitt stig eftir næsta kast og þá er væntalegur vinningur hvors um sig hálf upphæðin. Væntalegur vinningur þess sem vantar eitt stig í upphafi er því helmingur af allri upphæðinni og helmingur af hálfri upphæðinni, það er að segja 3/4 af vinningsupphæðinni. Hér kynnir Pascal til sögunnar bæði væntigildi og skilyrðingu, hvort tveggja lykilhugtök í líkindafræði. Það átti ekki fyrir Pascal að liggja að þróa þessa nýju grein stærðfræðinnar frekar. Hollendingurinn Christiaan Huygens (1629-1695) byggði á hugmyndum þeirra Fermats. Hann gaf út fyrstu bókina um líkindafræði árið 1657 meðal annars fyrir áeggjan Pascals.

Svokallað Pascalveðmál er að finna í hugleiðingum sem birtust að Pascal látnum. Samkvæmt því er skynsamlegt að trúa á guð vegna þess að hversu ólíkleg sem tilvist hans sé þá geri sú eilífa sæla, sem fylgi því að trúa á hann, það að verkum að væntanlegur hagnaður sé óendanlegur. Richard Dawkins, höfundur The God Delusion, segir að það sé eitthvað einstaklega skrítið við þessa röksemd. Það sé ekki hægt að ákveða að trúa ef maður trúir ekki. Þá sé bara hægt að ákveða að þykjast trúa. Ekki er gott að vita hvað Pascal gekk til með þessu. Dawkins heldur helst að hann hafi verið að grínast, en það rímar illa við það sem hér fer á eftir.

Pascal og yngri systir hans höfðu hrifist af kaþólskum trúarhópi, Jansenistum, árið 1646. Faðir Pascals dó árið 1651 og yngri systir hans gerðist þá nunna. Pascal mun hafa fengið trúaropinberun síðla árs 1654, sama ár og hann skapaði líkindafræðina, og sneri þá baki við veraldarvafstri og gerðist meinlætamaður. Eina stærðfræðin sem hann leyfði sér að stunda eftir þetta voru rannsóknir á hjólferli sem léttu honum tannpínu. Pascal beitti sér nú í trúfræðilegum átökum og reit frægt varnarverk fyrir Jansenismann, Lettres provinciales, sem var jafnframt logandi ádeila á Jesúíta. Bæði Voltaire og Rousseau munu hafa orðið fyrir áhrifum af ritsnilld hans.

Eftir Pascal er haft að hjartað eigi sér rök sem rökhugsun nái ekki til og í hjartanu sé guðslaga hólf sem ekkert geti fyllt nema guð.

Pascal var heilsuveill og þjáðist af höfuðverk í æsku og svefnleysi upp úr því. Hann lést árið 1662, aðeins 39 ára. Sagt er að Pascal sé ekki síður frægur fyrir það sem hann hefði getað gert en það sem hann gerði. Leibniz á meðal annars að hafa notið hugmynda frá Pascal þegar hann setti fram örsmæðareikninginn.

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Myndir:

Höfundur

Hermann Þórisson

Hermann Þórisson

prófessor í stærðfræði við HÍ

Útgáfudagur

21.3.2011

Spyrjandi

Guðný Björnsdóttir

Efnisorð

Tilvísun

Hermann Þórisson. „Hvað getið þið sagt mér um Blaise Pascal og framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn, 21. mars 2011. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=17091.

Hermann Þórisson. (2011, 21. mars). Hvað getið þið sagt mér um Blaise Pascal og framlag hans til stærðfræðinnar? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=17091

Hermann Þórisson. „Hvað getið þið sagt mér um Blaise Pascal og framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn. 21. mar. 2011. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=17091>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað getið þið sagt mér um Blaise Pascal og framlag hans til stærðfræðinnar?
Blaise Pascal (1623-1662) var franskur stærðfræðingur, eðlisfræðingur, uppfinningamaður, trúspekingur og ritsnillingur. Hann fæddist í Clermont, sem nú heitir Clermont-Ferrand í Auvergne, þar sem faðir hans var forseti skattdómsins og þekktur áhugamaður um stærðfræði og vísindi. Móðir hans dó þegar hann var þriggja ára og árið 1631 seldi(!) faðir hans stöðu sína og fluttist með Pascal og systur hans tvær til Parísar en hóf síðar störf við skattinn í Rúðuborg.

Faðir Pascals sá um menntun barna sinna sem öll voru mjög hæfileikarík. Hann var þeirrar óvenjulegu skoðunar að stærðfræði krefðist þroska og henti ekki börnum og bannaði þeim að fást við hana. Sonurinn stalst til að fikta við stærðfræði og þegar faðir hans uppgötvaði að hann, tólf ára gamall, hafði upp á eigin spýtur fundið út að hornasumma þríhyrnings er 180 gráður leyfði hann honum að kynna sér Evklíð og fór svo að taka hann með á fundi þar sem margir fremstu stærðfræðingar þess tíma hittust.

Sextán ára skrifaði Pascal sína fyrstu stærðfræðigrein. Þar sannaði hann setningu í varprúmfræði sem enn er kennd við hann. Setningin segir að ef sexhyrningur er innritaður í keilusnið (til dæmis hring) þá liggja skurðpunktar framlenginga mótstæðra hliða á beinni línu. Franski heimspekingurinn og stærðfræðingurinn René Descartes (1596-1650) mun í fyrstu ekki hafa trúað því að þessi grein gæti verið verk svo ungs manns. Átján ára hóf Pascal að þróa reiknivél til að auðvelda föður sínum vinnu við skattheimtuna og næsta áratuginn smíðaði hann tuttugu eintök af þessari vél, sem kallast Pascaline.


Pascaline-reiknivélin.

Árið 1646, þegar Pascal var 23 ára, hafði hann frétt af tilraun ítalska eðlis- og stærðfræðingsins Evangelistas Torricellis (1608-1647) og framkvæmdi hana sjálfur. Hún er fólgin í því að setja tilraunaglas fyllt kvikasilfri á hvolf í skál með kvikasilfri. Ef botni glassins er lyft upp úr skálinni helst kvikasilfrið allt í glasinu til að byrja með en þegar botninn er kominn í vissa hæð hættir kvikasilfrið að fylgja með og rými myndast fyrir ofan það. Pascal setti fram þá skýringu á þessu að loftþrýstingur haldi kvikasilfrinu uppi, en þegar kvikasilfursúlan væri orðin nógu há dygði loftþrýstingurinn ekki til og því myndaðist tómarúm fyrir ofan súluna. Hann framkvæmdi tilraunir sem sýndu að kvikasilfurssúlan lækkar eftir því sem hærra er farið með svona loftvog. Í tengslum við þessar rannsóknir setti hann fram það meginviðhorf tilraunavísinda sem vísindaheimspekingurinn Karl Popper (1902-1994) hóf til vegs á tuttugustu öld, að til að kanna gildi kenningar dugi ekki að reyna að staðfesta hana heldur þurfi líka að reyna að sýna fram á að hún sé ekki rétt. Ef kenningin standist ekki eina slíka prófraun sé hún röng. Pascal setti einnig fram lögmál um þrýsting í vökvum sem kennt er við hann og liggur meðal annars til grundvallar vökvadælum eins og nú eru notaðar til dæmis í hemla- og stýribúnaði bíla.

Árið 1653 skrifaði Pascal grein um eftirfarandi töflu:

1111111…
123456
1361015
141020
1515
16
1
…
Taflan er búin til þannig að talan 1 er sett í öll sætin í efstu línu og öll sætin í dálknum lengst til vinstri. Síðan er hver skálínan á fætur annarri fyllt með því að setja í hvert sæti þá tölu sem fæst með því að leggja saman næstu tölu fyrir ofan og næstu tölu til vinstri. Til dæmis fæst 15 hér að ofan með því að leggja saman 5 og 10. Pascal sannaði að tala númer k + 1 í skálínu númer n + 1 er: $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Þótt taflan sé töluvert eldri en hann þá er hún nú kölluð Pascalþríhyrningurinn. Mikilvægi þessa þríhyrnings stafar af því að fjöldi möguleika á að velja k stök úr mengi með n stökum er tala númer k + 1 í skálínu númer n + 1. Til dæmis er hægt að velja tvö stök á 15 vegu úr mengi með sex stökum. Þetta kemur sér í lagi að gagni í líkindareikningi. Ef til dæmis tveir menn eru valdir af handahófi úr sex manna hópi þá eru líkurnar 1/15 á að tveir tilteknir vinir í hópnum séu báðir valdir.

Uppruni líkindafræðinnar er yfirleitt rakinn til ársins 1654 þegar Pascal hóf bréfaskipti við landa sinn Pierre de Fermat (1601-1665). Girolamo Cardano (1501-1576) fjallaði reyndar um jafnar líkur um miðja 16. öld, en komst ekki að neinum markverðum niðurstöðum. Galíleó Galíleí (1564-1642) notaði einnig jafnar líkur til að skoða teningaköst, og rétt reiknaðar líkur fyrir þrjú köst mun vera að finna í þrettándualdar ljóðinu De vetula.

Bréfaskipti þeirra Pascals og Fermats hófust vegna spurninga um fjárhættuspil sem menn að nafni Antoine Gombaud, Chevalier de Méré og Damien Mitton lögðu fyrir Pascal. Krónuköst, teningaköst og einföld fjárhættuspil hafa sömu þýðingu í líkindafræði og þríhyrningar, hringir og keilusnið hafa í rúmfræði: skilningur á þeim auðveldar rannsókn á flóknari fyrirbærum.


Málverk frá 17. öld af Blaise Pascal eftir óþekktan málara.

Hér er dæmi um verkefni sem Pascal og Fermat leystu, en það hafði þá velkst fyrir mönnum um aldir. Tveir menn leika eftirfarandi leik. Krónu er kastað og fær annar eitt stig ef framhliðin kemur upp og hinn eitt stig ef bakhliðin kemur upp. Vinnur sá sem fyrr fær n stig þar sem n er einhver fyrirfram tiltekinn fjöldi. Mennirnir urðu að hætta leiknum þegar annan vantaði eitt stig til að vinna og hinn vantaði tvö stig. Hvernig á að skipta vinningsupphæðinni?

Pascal og Fermat komust báðir að þeirri niðurstöðu að sá sem vantar eitt stig ætti að fá 3/4 af vinningsupphæðinni. Útleiðsla Fermats var á þessa leið: Fjórar jafn líklegar útkomur koma til greina við svona aðstæður ef leikurinn væri leikinn til enda,
  • framhlið í næsta kasti og framhlið í þarnæsta,
  • framhlið í næsta kasti og bakhlið í þarnæsta,
  • bakhlið í næsta kasti og framhlið í þarnæsta,
  • bakhlið í næsta kasti og bakhlið í þarnæsta.
Þrjár útkomur af þessum fjórum þýða að sá sem vantar eitt stig vinni og vinningslíkur hans eru því 3/4 og því á hann að fá 3/4 af vinningsupphæðinni.

Útleiðsla Pascals var hins vegar á þessa leið: Með helmings líkum fær sá sem vantar eitt stig alla vinningsupphæðina eftir næsta kast. Með helmings líkum vantar báða eitt stig eftir næsta kast og þá er væntalegur vinningur hvors um sig hálf upphæðin. Væntalegur vinningur þess sem vantar eitt stig í upphafi er því helmingur af allri upphæðinni og helmingur af hálfri upphæðinni, það er að segja 3/4 af vinningsupphæðinni. Hér kynnir Pascal til sögunnar bæði væntigildi og skilyrðingu, hvort tveggja lykilhugtök í líkindafræði. Það átti ekki fyrir Pascal að liggja að þróa þessa nýju grein stærðfræðinnar frekar. Hollendingurinn Christiaan Huygens (1629-1695) byggði á hugmyndum þeirra Fermats. Hann gaf út fyrstu bókina um líkindafræði árið 1657 meðal annars fyrir áeggjan Pascals.

Svokallað Pascalveðmál er að finna í hugleiðingum sem birtust að Pascal látnum. Samkvæmt því er skynsamlegt að trúa á guð vegna þess að hversu ólíkleg sem tilvist hans sé þá geri sú eilífa sæla, sem fylgi því að trúa á hann, það að verkum að væntanlegur hagnaður sé óendanlegur. Richard Dawkins, höfundur The God Delusion, segir að það sé eitthvað einstaklega skrítið við þessa röksemd. Það sé ekki hægt að ákveða að trúa ef maður trúir ekki. Þá sé bara hægt að ákveða að þykjast trúa. Ekki er gott að vita hvað Pascal gekk til með þessu. Dawkins heldur helst að hann hafi verið að grínast, en það rímar illa við það sem hér fer á eftir.

Pascal og yngri systir hans höfðu hrifist af kaþólskum trúarhópi, Jansenistum, árið 1646. Faðir Pascals dó árið 1651 og yngri systir hans gerðist þá nunna. Pascal mun hafa fengið trúaropinberun síðla árs 1654, sama ár og hann skapaði líkindafræðina, og sneri þá baki við veraldarvafstri og gerðist meinlætamaður. Eina stærðfræðin sem hann leyfði sér að stunda eftir þetta voru rannsóknir á hjólferli sem léttu honum tannpínu. Pascal beitti sér nú í trúfræðilegum átökum og reit frægt varnarverk fyrir Jansenismann, Lettres provinciales, sem var jafnframt logandi ádeila á Jesúíta. Bæði Voltaire og Rousseau munu hafa orðið fyrir áhrifum af ritsnilld hans.

Eftir Pascal er haft að hjartað eigi sér rök sem rökhugsun nái ekki til og í hjartanu sé guðslaga hólf sem ekkert geti fyllt nema guð.

Pascal var heilsuveill og þjáðist af höfuðverk í æsku og svefnleysi upp úr því. Hann lést árið 1662, aðeins 39 ára. Sagt er að Pascal sé ekki síður frægur fyrir það sem hann hefði getað gert en það sem hann gerði. Leibniz á meðal annars að hafa notið hugmynda frá Pascal þegar hann setti fram örsmæðareikninginn.

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Myndir:

...