Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:19 • sest 21:35 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 25:18 • Sest 04:56 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 07:07 • Síðdegis: 19:24 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 01:08 • Síðdegis: 13:14 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Af hverju er ekki til formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu?

Gunnar Þór Magnússon

Áður en við svörum spurningunni skulum við gera grein fyrir helstu hugtökunum sem koma fyrir í henni, svo það sé öruggt að við séum öll að tala um sömu hlutina. Að leysa jöfnur af því tagi sem spurt er um þýðir að finna núllstöðvar margliðu, en það eru föll af gerðinni

\[P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\]þar sem tölurnar ak eru rauntölur. Tölurnar ak köllum við stuðla margliðunnar og x er óþekkta breytan. Hér mega stuðlarnir vera hvaða tölur sem er, fyrir utan að talan an má ekki vera 0. Við segjum að margliðan sé af n-ta stigi, því að n er hæsta veldi breytunnar x sem kemur fyrir í henni.

Í staðinn fyrir að skrifa alltaf út allar tölurnar og breytuna, þá gefum við margliðunni yfirleitt eitthvað nafn, eins og P hér að ofan, og tölum um margliðuna P. Dæmi um margliður eru

\[f(x)=x+1\]

\[g(x)=\pi x^{2}-2x\]

\[h(x)=-x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+3\]

Ef r er tala þannig að P(r) = 0, þá segjum við að r sé núllstöð margliðunnar.

Margliður eru mjög mikilvæg föll í stærðfræði, því þær eru tiltölulega einfaldar í meðförum og það má lýsa mörgum náttúrlegum fyrirbærum með þeim. Ef við höldum til dæmis á bolta yfir jörðinni og sleppum honum, þá getum við fundið annars stigs margliðu sem segir okkur hversu langt til jarðar boltinn hefur fallið eftir ákveðinn tíma. Ef við höfum áhuga á að vita hvenær boltinn lendir á jörðinni, þá þurfum við að finna núllstöð margliðunnar sem lýsir falli boltans, svo að geta leyst jöfnur af ákveðnu stigi er mikilvægt verkefni í stærðfræði.

Mjög einfalt er að finna núllstöð margliðu af fyrsta stigi, því það eina sem maður þarf að gera er að draga eina tölu frá jöfnunni og deila í gegn með annarri. Málið flækist aðeins ef margliðan er af öðru stigi, því þá er mögulegt að margliðan hafi enga núllstöð á meðal rauntalnanna, en engu að síður er til formúla fyrir núllstöðvunum þegar þær eru til. Þessa formúlu læra allir sem taka einhverja stærðfræði í menntaskóla: ef P(x) = ax2 + bx + c er annars stigs margliða, þá eru núllstöðvar hennar gefnar með

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

Það er mikilvægt að taka eftir að núllstöðvar margliðunnar ákvarðast af stuðlum hennar. Ef við þekkjum stuðlana, þá þurfum við engar aðrar upplýsingar til að geta sagt hverjar núllstöðvarnar eru. Formúlan hér að ofan hefur verið þekkt frá því í fornöld, og á 15. og 16. öld uppgötvuðu Ítalir svipaðar formúlur fyrir núllstöðvum margliða af þriðja og fjórða stigi. Þó að formúlurnar verði fljótt flóknari eftir því sem stigið á margliðunum hækkar, þá eiga þær allar sameiginlegt að tengja núllstöðvarnar við stuðlana með því að nota aðeins samlagningu, frádrátt, margföldun, deilingu, og kvaðrat- eða hærri rætur endanlega oft.

Teikning af Paolo Ruffini.

Lengi vel reyndu menn að finna svipaða formúlu fyrir núllstöðvum fimmta stigs margliða, en allar tilraunir til þess mistókust og menn tók að gruna að slík formúla væri einfaldlega ekki til. Við upphaf 18. aldar staðfestu stærðfræðingarnir Abel (1802 - 1829) og Ruffini (1765 - 1822) þennan grun, þegar þeir sönnuðu með nokkuð flóknum aðferðum að það er ekki til almenn formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu.

Nokkrum árum síðar lagði undrabarnið Évariste Galios (1811 - 1832) grunninn að þeirri grein algebru sem er kölluð Galios-fræði í dag, og gaf mönnum verkfæri sem leiddu bæði til einfaldari sönnun á niðurstöðu Abel og Ruffini og til sönnunar á því að það er ekki til nein almenn formúla fyrir núllstöðvum margliða af fimmta stigi eða hærra. Að slíkar formúlur séu til fyrir núllstöðvum margliða af fyrsta, öðru, þriðja og fjórða stigi er þess vegna undantekningin frekar en reglan.

Þessi niðurstaða er oft misskilin á þann hátt að fólk heldur að margliður af fimmta stigi eða hærra hafi engar núllstöðvar. Þetta er rangt, eins og sést til dæmis með að skoða margliðuna Q(x) = x5 - 1, sem hefur augljóslega núllstöðina 1. Það er meira að segja til setning, sem heitir undirstöðusetning algebrunnar, og segir að allar margliður, fyrir utan fastamargliður sem taka bara eitt gildi, hafi að minnsta kosti eina núllstöð sem gæti að vísu verið tvinntala. Því má alltaf finna lausn á jöfnum af hvaða stigi sem er. Niðurstaðan að ofan segir hins vegar að það sé ekki til nein formúla sem gefur núllstöðvarnar sem endanlega samantekt af stuðlunum og hinum ýmsu rótum þeirra, og því verðum við að reiða okkur á aðrar aðferðir eins og ágiskanir, nálgunaraðferðir eða ný hjálparföll þegar við viljum finna núllstöðvar slíkra margliða.



Teikningar af Galois (vinstri) og Abel (hægri).

Þó að sönnunin á niðurstöðu Abels og Ruffinis sé mun einfaldari en áður með Galios-fræði, þá byggir hún engu að síður á algebru sem fólk kynnist ekki nema það læri stærðfræði í háskóla og það er illmögulegt að gera grein fyrir sönnuninni í stuttu máli þannig að hún verði öllum skiljanleg. Við getum samt reynt að segja mjög lauslega hvað sönnunin gengur út á.

Ef okkur er gefin margliða, þá segir undirstöðusetning algebrunnar að hún hafi núllstöðvar. Með þessum núllstöðvum getum við búið til algebrulegan hlut sem heitir grúpa og hefur eiginleika sem eru nátengdir upprunalegu margliðunni. Nú má sjá að til þess að það sé til formúla fyrir núllstöðvum margliðunnar, þá þarf grúpan hennar að uppfylla ákveðið skilyrði. Ef að stig margliðunnar okkar er stærra eða jafnt fimm, þá fáum við stundum of flókna grúpu til að uppfylla þetta skilyrði, og því eru ekki til almennar formúlur fyrir lausnum margliða af fimmta stigi eða hærra.

Sem dæmi má taka margliðuna x5 - x - 1. Hún hefur nákvæmlega eina núllstöð á meðal rauntalnanna, sem er á milli 1 og 2. En grúpa þessarar margliðu er of flókin til að uppfylla nauðsynlega skilyrðið okkar, og því má ekki skrifa núllstöð hennar með formúlu sem notar bara venjulegu reikniaðgerðirnar, veldi og kvaðrat, þriðju eða hærri rætur.

Þessi lýsing er auðvitað ónákvæm og ófullnægjandi, en því miður getum við ekki gert mikið betur án þess að tala um mjög tæknileg atriði sem varða grúpur, og að gera það almennilega og á skiljanlegan hátt yrði efni í litla bók. Ef lesendur vilja fá nákvæmari útskýringu er því um lítið annað að ræða en að sökkva sér í grúpu- og Galoisfræði, með allri þeirri hamingju sem þeim fylgja.

Heimildir og tengt efni á Vísindavefnum:

Hér var einnig svarað spurningunum ,,Hverjar eru hugmyndir manna um lausnir jafna af hærra en öðru stigi?`` og ,,Er hægt að leysa jöfnu af hærra en öðru stigi?``

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

9.7.2009

Spyrjandi

Bjarni Jósep, Haukur Herbertsson, Pétur Ingólfsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Af hverju er ekki til formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu?“ Vísindavefurinn, 9. júlí 2009. Sótt 25. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=12803.

Gunnar Þór Magnússon. (2009, 9. júlí). Af hverju er ekki til formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=12803

Gunnar Þór Magnússon. „Af hverju er ekki til formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu?“ Vísindavefurinn. 9. júl. 2009. Vefsíða. 25. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=12803>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Af hverju er ekki til formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu?
Áður en við svörum spurningunni skulum við gera grein fyrir helstu hugtökunum sem koma fyrir í henni, svo það sé öruggt að við séum öll að tala um sömu hlutina. Að leysa jöfnur af því tagi sem spurt er um þýðir að finna núllstöðvar margliðu, en það eru föll af gerðinni

\[P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\]þar sem tölurnar ak eru rauntölur. Tölurnar ak köllum við stuðla margliðunnar og x er óþekkta breytan. Hér mega stuðlarnir vera hvaða tölur sem er, fyrir utan að talan an má ekki vera 0. Við segjum að margliðan sé af n-ta stigi, því að n er hæsta veldi breytunnar x sem kemur fyrir í henni.

Í staðinn fyrir að skrifa alltaf út allar tölurnar og breytuna, þá gefum við margliðunni yfirleitt eitthvað nafn, eins og P hér að ofan, og tölum um margliðuna P. Dæmi um margliður eru

\[f(x)=x+1\]

\[g(x)=\pi x^{2}-2x\]

\[h(x)=-x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+3\]

Ef r er tala þannig að P(r) = 0, þá segjum við að r sé núllstöð margliðunnar.

Margliður eru mjög mikilvæg föll í stærðfræði, því þær eru tiltölulega einfaldar í meðförum og það má lýsa mörgum náttúrlegum fyrirbærum með þeim. Ef við höldum til dæmis á bolta yfir jörðinni og sleppum honum, þá getum við fundið annars stigs margliðu sem segir okkur hversu langt til jarðar boltinn hefur fallið eftir ákveðinn tíma. Ef við höfum áhuga á að vita hvenær boltinn lendir á jörðinni, þá þurfum við að finna núllstöð margliðunnar sem lýsir falli boltans, svo að geta leyst jöfnur af ákveðnu stigi er mikilvægt verkefni í stærðfræði.

Mjög einfalt er að finna núllstöð margliðu af fyrsta stigi, því það eina sem maður þarf að gera er að draga eina tölu frá jöfnunni og deila í gegn með annarri. Málið flækist aðeins ef margliðan er af öðru stigi, því þá er mögulegt að margliðan hafi enga núllstöð á meðal rauntalnanna, en engu að síður er til formúla fyrir núllstöðvunum þegar þær eru til. Þessa formúlu læra allir sem taka einhverja stærðfræði í menntaskóla: ef P(x) = ax2 + bx + c er annars stigs margliða, þá eru núllstöðvar hennar gefnar með

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

Það er mikilvægt að taka eftir að núllstöðvar margliðunnar ákvarðast af stuðlum hennar. Ef við þekkjum stuðlana, þá þurfum við engar aðrar upplýsingar til að geta sagt hverjar núllstöðvarnar eru. Formúlan hér að ofan hefur verið þekkt frá því í fornöld, og á 15. og 16. öld uppgötvuðu Ítalir svipaðar formúlur fyrir núllstöðvum margliða af þriðja og fjórða stigi. Þó að formúlurnar verði fljótt flóknari eftir því sem stigið á margliðunum hækkar, þá eiga þær allar sameiginlegt að tengja núllstöðvarnar við stuðlana með því að nota aðeins samlagningu, frádrátt, margföldun, deilingu, og kvaðrat- eða hærri rætur endanlega oft.

Teikning af Paolo Ruffini.

Lengi vel reyndu menn að finna svipaða formúlu fyrir núllstöðvum fimmta stigs margliða, en allar tilraunir til þess mistókust og menn tók að gruna að slík formúla væri einfaldlega ekki til. Við upphaf 18. aldar staðfestu stærðfræðingarnir Abel (1802 - 1829) og Ruffini (1765 - 1822) þennan grun, þegar þeir sönnuðu með nokkuð flóknum aðferðum að það er ekki til almenn formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu.

Nokkrum árum síðar lagði undrabarnið Évariste Galios (1811 - 1832) grunninn að þeirri grein algebru sem er kölluð Galios-fræði í dag, og gaf mönnum verkfæri sem leiddu bæði til einfaldari sönnun á niðurstöðu Abel og Ruffini og til sönnunar á því að það er ekki til nein almenn formúla fyrir núllstöðvum margliða af fimmta stigi eða hærra. Að slíkar formúlur séu til fyrir núllstöðvum margliða af fyrsta, öðru, þriðja og fjórða stigi er þess vegna undantekningin frekar en reglan.

Þessi niðurstaða er oft misskilin á þann hátt að fólk heldur að margliður af fimmta stigi eða hærra hafi engar núllstöðvar. Þetta er rangt, eins og sést til dæmis með að skoða margliðuna Q(x) = x5 - 1, sem hefur augljóslega núllstöðina 1. Það er meira að segja til setning, sem heitir undirstöðusetning algebrunnar, og segir að allar margliður, fyrir utan fastamargliður sem taka bara eitt gildi, hafi að minnsta kosti eina núllstöð sem gæti að vísu verið tvinntala. Því má alltaf finna lausn á jöfnum af hvaða stigi sem er. Niðurstaðan að ofan segir hins vegar að það sé ekki til nein formúla sem gefur núllstöðvarnar sem endanlega samantekt af stuðlunum og hinum ýmsu rótum þeirra, og því verðum við að reiða okkur á aðrar aðferðir eins og ágiskanir, nálgunaraðferðir eða ný hjálparföll þegar við viljum finna núllstöðvar slíkra margliða.



Teikningar af Galois (vinstri) og Abel (hægri).

Þó að sönnunin á niðurstöðu Abels og Ruffinis sé mun einfaldari en áður með Galios-fræði, þá byggir hún engu að síður á algebru sem fólk kynnist ekki nema það læri stærðfræði í háskóla og það er illmögulegt að gera grein fyrir sönnuninni í stuttu máli þannig að hún verði öllum skiljanleg. Við getum samt reynt að segja mjög lauslega hvað sönnunin gengur út á.

Ef okkur er gefin margliða, þá segir undirstöðusetning algebrunnar að hún hafi núllstöðvar. Með þessum núllstöðvum getum við búið til algebrulegan hlut sem heitir grúpa og hefur eiginleika sem eru nátengdir upprunalegu margliðunni. Nú má sjá að til þess að það sé til formúla fyrir núllstöðvum margliðunnar, þá þarf grúpan hennar að uppfylla ákveðið skilyrði. Ef að stig margliðunnar okkar er stærra eða jafnt fimm, þá fáum við stundum of flókna grúpu til að uppfylla þetta skilyrði, og því eru ekki til almennar formúlur fyrir lausnum margliða af fimmta stigi eða hærra.

Sem dæmi má taka margliðuna x5 - x - 1. Hún hefur nákvæmlega eina núllstöð á meðal rauntalnanna, sem er á milli 1 og 2. En grúpa þessarar margliðu er of flókin til að uppfylla nauðsynlega skilyrðið okkar, og því má ekki skrifa núllstöð hennar með formúlu sem notar bara venjulegu reikniaðgerðirnar, veldi og kvaðrat, þriðju eða hærri rætur.

Þessi lýsing er auðvitað ónákvæm og ófullnægjandi, en því miður getum við ekki gert mikið betur án þess að tala um mjög tæknileg atriði sem varða grúpur, og að gera það almennilega og á skiljanlegan hátt yrði efni í litla bók. Ef lesendur vilja fá nákvæmari útskýringu er því um lítið annað að ræða en að sökkva sér í grúpu- og Galoisfræði, með allri þeirri hamingju sem þeim fylgja.

Heimildir og tengt efni á Vísindavefnum:

Hér var einnig svarað spurningunum ,,Hverjar eru hugmyndir manna um lausnir jafna af hærra en öðru stigi?`` og ,,Er hægt að leysa jöfnu af hærra en öðru stigi?``...